数学の問題を解くには、いろいろなことができなければいけません。問題の難易度が上がれば要求は更に高くなります。今回は、入試などで出題される『連比』について、どのように考えればよいかの一例を書きます。
問題
直線上に点A・B・C・Dがある。線分ABとBDの長さの比は２：３で線分ACとCDの長さの比は２：１である。このとき線分AB・BC・CDの比を求めなさい。
解答例
AB：BD＝２：３とAC：CD＝２：１より
AB：BD：AD＝２：３：５＝２/５：３/５：１
AC：CD：AD＝２：１：３＝２/３：１/３：１
BC＝AC−AB＝２/３−２/５＝４/１５であるから、
AB：BC：CD＝２/５：４/１５：１/３＝６：４：５
解説
上の解答では、１/３は３分の１のことです。以降、考え方を書きます。
まず、問題に「直線m上に点A・B・C・Dがある。線分ABとBDの長さの比は２：３で線分ACとCDの長さの比は２：１である。」とあるので、具体的な図をどこかに書きます。頭の中でイメージできるなら、全て正しく頭の中で書けばいいです。途中で無理となったら具体的に紙に書いてください。また考えを進めると同時に、わかることを図に書き込みましょう。今回、図は省略します。
問題文の「線分ABとBDの長さの比は２：３」「線分ACとCDの長さの比は２：１」は数式化できるので、数式にします。これは解答例のAB：BD＝２：３とAC：CD＝２：１です。
また、図を見ると、２つの比AB：BDとAC：CDについて、全体のADが共通になることがわかります。この共通部のADを基準（AD=１）にしたときの比を作ります。上の解答例ですと、AB：BD：AD＝２/５：３/５：１とAC：CD：AD＝２/３：１/３：１のところです。
この２つの式はAD＝１としたときの式なので、AB＝２/５，BD＝３/５，AC＝２/３，CD＝１/３がわかります。わかりたいのはAB：BC：CDです。あとはBCがいくつかわかればよい。ここで、BC＝AC−ABですから、BC＝４/１５となります。
ADを基準としたときのABとBCとCDの比がわかりました。これを数式にしてまとめます。解答例の最後の式になります。
大切なこと
① 問題が何を言っているのかを的確に捉えること
② 問題からわかることを式や図として示しておくこと
③ ①②から更に何がわかるかを考えること
④ ①②③を繰り返し、答えまでの道筋を見つけること
になります。上の問題では文章で書きましたが、図から判断すれば一瞬で終わります。
さまざまな問題に対応させるためには、問題演習を多くこなし発想に慣れることが大切です。自力で答えまでたどりつけるようになるため、練習を頑張りましょう。
藤枝駅前校 番頭先生
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